Ergebnisse und Ereignisse

Experiment

Ein Experiment ist eine Handlung oder Beobachtung unter genau definierten Bedingungen, durchgeführt mit dem Ziel, ein oder mehrere Ergebnisse zu erzielen. Es untersucht spezifische Phänomene, wobei der Zufall eine Rolle spielen kann, und ist oft so konzipiert, dass es wiederholbar ist. Typische Beispiele sind das Werfen eines Würfels, das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel oder das Messen der Temperatur an einem bestimmten Ort zu einer festgelegten Zeit.

Ergebnis

Das Ergebnis eines Experiments ist eine spezifische Realisierung dessen, was passieren kann. Es repräsentiert ein einzelnes, beobachtbares Resultat des Experiments. Zum Beispiel kann bei einem fairen Würfelwurf das Ergebnis eine 4 sein. Jeder Durchführung des Experiments entspricht genau ein Ergebnis.

Ereignis

Ein Ereignis ist eine Menge von einem oder mehreren Ergebnissen eines Experiments, also eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es wird durch die spezifischen Bedingungen definiert, die diese Ergebnisse erfüllen. Ereignisse können sowohl einzelne Ergebnisse (z.B. eine 6 würfeln) als auch Gruppen von Ergebnissen umfassen (z.B. eine gerade Zahl würfeln). Der Ergebnisraum (Ω) beinhaltet alle möglichen Ergebnisse eines Experiments, mit Ereignissen als dessen Teilmengen.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses misst, wie wahrscheinlich dieses Ereignis unter Zufallsbedingungen eintritt. Sie reicht von 0 (unmögliches Ereignis) bis 1 (sicheres Ereignis) und kann auch prozentual ausgedrückt werden. Formal ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, bezeichnet als $P(A)$, das Verhältnis der Anzahl günstiger Ausfälle für A zur Gesamtzahl möglicher Ausfälle, unter der Annahme gleich wahrscheinlicher Ausfälle:

$$P(A) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ausfälle für A}}{\text{Gesamtzahl möglicher Ausfälle}}$$

Diese Definition gilt vorrangig in einfachen, diskreten Fällen. Für komplexere oder kontinuierliche Situationen bedarf es anderer Methoden, wie der Integration, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Die Theorie umfasst auch Konzepte wie unabhängige Ereignisse, bei denen das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit eines anderen nicht beeinflusst, sowie bedingte Wahrscheinlichkeiten, welche die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist, beschreiben.

Arten von Ereignissen

Verschiedene Ereignistypen werden basierend auf ihren Eigenschaften unterschieden:

• Unmögliche und sichere Ereignisse: Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0, ein sicheres Ereignis 1.
• Einfache und zusammengesetzte Ereignisse: Ein einfaches Ereignis hat genau ein Ergebnis, ein zusammengesetztes Ereignis umfasst mehrere Ergebnisse.
• Unabhängige und abhängige Ereignisse: Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig, während bei abhängigen Ereignissen das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit eines anderen beeinflusst.
• Komplementärereignisse: Zwei Ereignisse sind komplementär, wenn das Eintreten des einen das Nicht-Eintreten des anderen bedeutet.
• Bedingte Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, gegeben, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist.
• Disjunkte Ereignisse: Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen.

Geometrische Wahrscheinlichkeit

Bei der geometrischen Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch das Verhältnis von Maßen geometrischer

Figuren bestimmt. Dies ist nützlich in kontinuierlichen Situationen.

$$P(A) = \frac{\text{Maß der günstigen Geometrie für A}}{\text{Maß der gesamten Geometrie von Ω}}$$

Beispiele:

• Auf einer Linie: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt im Intervall [0.25, 0.75] einer Strecke von 0 bis 1 liegt, ist 0.5.
• Auf einer Fläche: Bei einem zufälligen Punkt auf einer rechteckigen Fläche ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Punkt innerhalb eines bestimmten kleineren Rechtecks liegt, das Verhältnis der Fläche des kleineren zum größeren Rechteck.