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Numerische Mathematik

Die numerische Mathematik, auch bekannt als numerische Analyse, ist ein Bereich der Mathematik, der sich mit Methoden zur Lösung mathematischer Probleme befasst, die sich nicht analytisch (mit exakten Formeln) lösen lassen. In der Data Science spielt sie eine entscheidende Rolle, da viele Probleme in der Datenanalyse, im maschinellen Lernen und in der künstlichen Intelligenz auf komplexe mathematische Modelle führen, die numerische Lösungen erfordern. Die Anwendung von numerischer Mathematik in der Data Science umfasst mehrere Schlüsselbereiche:

  1. Optimierung: Viele Data Science Probleme, insbesondere im maschinellen Lernen, involvieren die Optimierung von Funktionen, z.B. die Minimierung von Kosten- oder Verlustfunktionen. Numerische Optimierungsmethoden, wie der Gradientenabstieg und seine Varianten, sind wesentlich für das Training von Modellen.

  2. Lineare Algebra: Wie bereits erwähnt, sind Vektoren, Matrizen und lineare Gleichungssysteme grundlegend für die Datenrepräsentation und -manipulation. Numerische Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme und Singulärwertzerlegungen sind in vielen Anwendungen zentral.

  3. Numerische Integration und Differentiation: In der Data Science werden diese Techniken z.B. für die Berechnung von Gradienten, die in Optimierungsprozessen benötigt werden, eingesetzt. Numerische Integration wird auch verwendet, um Flächen unter Kurven zu bestimmen, was in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie relevant sein kann.

  4. Differentialgleichungen: Viele reale Systeme werden durch Differentialgleichungen modelliert, einschließlich Wachstumsprozesse, Verbreitung von Krankheiten und viele physikalische Phänomene. Numerische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen ermöglichen die Simulation und Analyse solcher Systeme.

  5. Zeitreihenanalyse: Numerische Methoden werden verwendet, um Modelle für Zeitreihendaten zu erstellen und zu analysieren, z.B. für die Vorhersage zukünftiger Werte basierend auf vergangenen Beobachtungen.

  6. Statistische Simulationen: Techniken wie die Monte-Carlo-Simulation, die auf wiederholter Stichprobenziehung basiert, erfordern numerische Methoden, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen und statistische Eigenschaften von Modellen zu schätzen.

  7. Maschinelles Lernen und KI: Viele Algorithmen, insbesondere diejenigen, die auf neuronalen Netzen basieren, nutzen numerische Methoden für das Training und die Anwendung von Modellen. Dazu gehören die Backpropagation für das Training von Deep Learning Modellen und numerische Approximationen für nicht-differenzierbare Funktionen.

Numerische Mathematik ermöglicht es, komplexe mathematische Probleme effektiv auf Computern zu lösen, und bildet damit eine Brücke zwischen theoretischer Mathematik und praktischer Anwendung in der Data Science. Durch die Verwendung numerischer Methoden können Data Scientists Modelle entwickeln, trainieren und anwenden, die Einblicke in große und komplexe Datensätze bieten.